Продолжим наши занятия на тему квадрокоптера 🙂

Как уже замечал автор, управление тягой моторов осуществляется специальным микроконтроллером, который обрабатывает показания датчиков наклона и ускорения. Количество датчиков зависит от того, насколько автономной планируется система квадрокоптер – пилот.

Давайте рассмотрим основные составные части части квадрокоптера:

• Рама – основа всей конструкции, которая соединяет между собой все остальные части. Должна быть прочной и в то же время легкой.
• Двигатели, которые обеспечивают необходимую тягу для подъема квадрокоптера в воздух.
• Обороты каждого двигателя управляются отдельными контроллерами
• Пропеллеры (несущие винты)
• Источники питания – батареи или аккумуляторы
• Датчики ускорении/ угла наклона
• Микроконтроллер – мозг аппарата
• Приборы дистанционного управления
• Дополнительное оборудование

Рама (так же известна как крестовина)

Рама предназначена для соединения все компонентов конструкции в одно целое. Рама должна быть достаточно жесткой и в то же время обладать способностью гасить вибрации роторов.

Рама квадрокоптера , как правило, состоит из двух либо трех частей. Они не обязательно должны состоять из одного и того же материала.

• Центральная плита, на которую монтируются электронные компоненты
• Крестовина из 4 симметричных балок, которые крепятся к центральной плите
• Четыре мотогондолы, которые крепят двигатели к законцовкам балок крестовины.

Примечание переводчика: выражение «две или три части», вероятно означает, что с целью облегчения конструкции, центральная плита для размещения электроники, иногда не предусмотрена.

Для рамы подходят следующие материалы:

• Карбон
• Алюминий и его сплавы
• Дерево, например, фанера или МДФ

Наиболее предпочтительным для использования является карбон, из – за его жесткости и вибропоглощающих свойств, однако, и цена зачастую делает его недоступным для рядовых энтузиастов авиастроения:).

Популярностью при создании разного рода квадрокоптеров пользуются пустотелые алюминиевые профили (в основном – П-образные). Это вызвано их относительно низким весом, жесткостью и приемлемой ценой. В то же время, по сравнению с карбоном (углепластиком) , алюминий меньше поглощает вибрации, что может привести к искажению показаний датчиков. Фото именно такой крестовины приведено в заголовке статьи.

Плиты на основе древесины, например, МДФ – плиты или фанера также с успехом используются для создания квадрокоптеров из-за приемлемых вибропоглощающих характеристик. Однако, такие материалы не обладают высокой прочностью и могут быть легко повреждены в случае катастрофы. Несмотря на то, что материал центральной плиты не играет такой же важной роли, как материал для балок крестовины, чаще всего для ее изготовления применяется фанера как легкий и легко обрабатываемый материал, который хорошо поглощает вибрацию.

Для обозначения длины каждой из перекладин крестовины квадрокоптера иногда применяют термин «междвигательное расстояние», то есть дистанцию между валами противоположных роторов.

Бесколлекторные двигатели

Небольшое введение в теорию электродвигателей. Бесколлекторные двигатели, как и электродвигатели постоянного тока классической схемы, используют катушки с проводом и магниты для вращения приводного вала. Катушки в бесколлектроных двигателях расположены на внутренней стороне кожуха двигателя, и соответственно, в их конструкции отсутствуют щетки, предназначенные для передачи электрического тока на расположенные на валу катушки.

Магниты в бесколлекторных двигателях расположены в цилиндре, насаженном на вал двигателя. Таким образом, провода питания присоединяются непосредственно к обмоткам катушек что исключает необходимость использования щеток.

Преимуществом бесколлекторных двигателей является гораздо более высокая скорость вращения , а также меньшее энергопотребление в режимах работы, сравнимых с двигателями классической схемы. Кроме того, в бесколлекторных двигателях отсутствуют потери мощности из-за трения и искрения щеток и токосъемников, что делает их более энергоэффективными.

Существующие бесколлекторные двигатели в первую очередь различаются размерами и относительно малым потреблением энергии. При выборе двигателя для вашего квадрокоптреа, необходимо принять во внимание вес и размеры двигателей, характеристики несущих винтов, а также их соответствие относительному потреблению двигателей, которое описывается термином «kV Rating».

«kV Rating» показывает, сколько оборотов в минуту будет выдавать двигатель при определенном напряжении. Количество оборотов в минуту высчитывается по простой формуле: RPM=Kv*U (количество оборотов = напряжению питания умноженному на «kV Rating» ). Для упрощения расчетов, автор предлагает использовать онлайн – калькулятор eCalc , который считает прекрасным инструментом, который поможет рассчитать характеристики компонентов квадрокоптера в зависимости от запланированной грузоподъемности.

ВАЖНО! Не забудьте, что для квадрокоптреа необходимы две пары двигателей с противоположными направлениями вращения.

Пропеллеры (несущие винты)

Наверняка, на изображениях квадрокоптеров вы не заметили, что все их четыре винта не идентичны. Если приглядеться, можно заметить, что передний и задний несущие винты имею правый изгиб, в то время как на перепендикулярном плече крестовины несущие винты изогнуты наоборот .

Как автор указывал ранее, для предотвращения раскрутки аппарата, 2 ротора вращаются в одном направлении, в то время как два других – в противоположном. Пары воздушных винтов, которые вращаются в противоположных направлениях и имеют противоположное направление изгиба, обеспечивают подъемную силу в одном направлении без рысканья по курсу. Это и придает квадрокоптеру его знаменитую курсовую устойчивость.

Промышленно изготовленные воздушные винты для квадрокоптеров изготавливаются в разных диаметрах и с разными степенями изгиба (англ. – pitch, далее – шаг винта). Выбор пропеллера зависит от размаха балок несущей крестовины и определяет выбор двигателей. Ниже приведены несколько типоразмеров несущих винтов в зависимости от размеров квадрокоптеров.

• EPP1045 10 diameter and 4.5 pitch — самый популярный, используется в проектах среднего размера.
• APC 1047 10 diameter and 4.7 pitch — весьма похож на вариант № 1
• EPP0845 8 diameter and 4.5 pitch как правило, применяется в малых квадрокоптерах
• EPP1245 12 diameter and 4.5 pitch – для больших аппаратов, которым необходима значительная тяга
• EPP0938 9 diameter and 3.8 pitch для маленьких квадрокоптеров

Аэродинамика никогда не была легкой наукой. Да же не думайте, что теорию воздушного винта можно уложить в несколько слов или даже часов. Однако, в общем, тему несущего винта в вертолете можно свести к двум следующим соотношениям:

1. Больший диаметр и шаг воздушного винта определяет его большую тягу и возможность поднять больший груз. В то же время, для вращения такого винта необходима большая мощность двигателя.
2. При использовании высокоборотистых моторов вы можете позволить себе задействовать винты меньшего диаметра. Однако, в случае снижения скорости оборотов, тяги несущих винтов может не хватить для удержания аппарата и груза в воздухе и даже для их относительно мягкой посадки.

Соотношение шага, диаметра и скорости вращения воздушного винта

Диаметр винта определяет его площадь , в то время как шаг винта – его эффективную площадь , которая и создает тягу. Таким образом, при равных диаметрах, воздушный винт с большим шагом создаст большую тягу и обеспечит большую грузоподъемность при бОльших затратах мощности.

Увеличение скорости вращения воздушного винта увеличит скорость и маневренность летательного аппарата, однако наложит ограничение на полезную нагрузку вне зависимости от затраченной на подъем мощности. В то же время, сила тяги (и соответственно, затраченная на вращение винта мощность), увеличивается при увеличении эффективной площади воздушного винта. Это означает, что больший диаметр или шаг воздушного винта позволит создать большую тягу при той же скорости вращения и поднять большую полезную нагрузку.

При выборе комбинации компонентов винтомоторной группы вашего квадрокоптера, в первую очередь, необходимо определить его будущее назначение . Например, если вам нужна высокая стабильность для полетов со значительной нагрузкой типа видеокамеры, ваш выбор – двигатель с меньшей скоростью вращения, однако значительным крутящим моментом и несущие винты большего диаметра или со значительным шагом.

При создании коптера одним из важнейших параметров является время автономного полёта. Если вы хотите, что бы ваш коптер летал как можно дольше, моторы и их несущие винты должны работать в оптимальном режиме с максимальным КПД. Для решения данной задачи нами был спроектирован специальный измерительный стенд, речь о котором и пойдет в данной статье.

Мы занимаемся созданием бесколлекторных моторов и недавно у нас был заказ на мотор для квадрокоптера с тягой не менее 2 Кг на каждый винт. До этого мы не делали моторы под воздушный винт и нам был необходим метод измерения и стенд для мотора с винтом.

Прежде чем начать выбирать оптимальный мотор и винт под него, сперва нужно разобраться какие потери возникают в моторах.

Основными источниками потерь в бесколлекторных моторах являются железо статора и его обмотка.

Потери на железе возникают из-за его перемагничивания. Данные потери условно можно считать пропорциональными оборотам мотора и они задают минимальную потребляемую энергию мотора. Так, например, если вы возьмете большой и мощный мотор для маленького коптера с маленьким винтом, то ничего хорошего у вас не получится. Мотор просто будет вращаться вхолостую с нулевым КПД и греть железо в статоре.

Потери в медной проволоке наоборот не зависят от оборотов, а зависят от тока/потребляемой мощности. Данные потери ограничивают максимальную мощность, которую способен выдать мотор не перегревшись.

Вторым важным элементом при выборе мотора является винт. Малые винты обладают более низкими показателями эффективности г/Вт(1 грамм подъёмной силы/1 Ватт потребляемой мощности), но маленькие винты более динамичны и позволяют быстро набрать скорость на гоночных коптерах. Для достижения максимального времени полёта винт должен соответствовать максимально эффективному режиму работы мотора.

Однако если мы захотим подобрать оптимальные комплектующие для своего коптера, то мы столкнемся с большой проблемой при их выборе. Производители дают минимальный набор характеристик для своего товара. По винтам вообще невозможно найти какой либо информации кроме их размера.

Функционал стенда

На данный момент несколько производителей уже представили на рынок свои стенды. Однако их возможности не сильно превосходит функционал кухонных весов. И данные стенды не способны дать всех характеристик при работе мотора.

Нам же от стенда были необходимы следующие параметры: потребляемая мощность, обороты мотора, тяга винта, момент создаваемый винтом, КПД мотора, эффективность мотора, винта.

Исходя из этих параметров мы спроектировали конструкцию стенда и снабдили его всеми необходимыми датчиками.

Для измерения силы тяги и момента были выбраны хорошо распространённые сейчас датчики с тензосопротивлением. Они обладают хорошей жесткостью и высокой точностью измерения и очень удачно подходят по своей конструкции.

Для измерения остальных параметров были выбраны стандартные для этого датчики: полупроводниковое термосопротивление для температуры, акселерометр для замера вибраций, датчик тока на эффекте холла для измерения тока и делитель для напряжения…

Сердцем нашего стенда является микроконтроллер ATMega328 на плате Arduino Nano. Он собирает показания с датчиков, обрабатывает их и выводит на экран. Данный микроконтроллер оптимально подходит для данной задачи. Он обладает минимальной ценой, не привередлив к питанию, стабилен и имеет достаточное количество интерфейсов для данной задачи.

В результате нашей работы был получен стенд со следующими параметрами:

• Питание через BEC модулю контроллера 5-9В, либо через micro USB
• Измерение тяги до 5Кг с точностью +-5г
• Измерение момента до 3Кг/см с точностью +-5г/см
• Измерение напряжения до 30В с точность +-0.2В
• Измерение тока до 30А с точностью +-0.1А
• Измерение КПД с точностью +-2.5%
• Возможность измерения оборотов винта в диапазоне 1000-15000RPM
• Возможность измерения относительных вибраций.(Можно использовать этот параметр для балансировки мотора с винтом путём уменьшения параметра вибраций)
• Измерение температуры мотора (*на данный момент не полностью реализовано в стенде, нами использовался отдельно подключенный датчик)
• Возможность управления педалью “газа” прямо с пульта

Мы испытали наш стенд на распространенном китайском моторе 2212 и на нашем моторе.

Пример испытания на видео

Экономный вариант

Стенд описанный в данной статье является достаточно сложным и предназначен для точной проработки силовых агрегатов дрона. Для случая, когда охото сэкономить и узнать просто тягу мотора, нами был сделан простой, дешевый адаптер способный выполнить данную функцию.

Данный адаптер крепится одним концом к мотору, вторым к бутылке с водой. Бутылка устанавливается на весы. Далее мотор запускается и тяга измеряется по показаниям весов.

Крепление на адаптере сделано универсальным и подходит практически под все распространенные моторы. На втором конце адаптера находится резьба для накручивания на 5ти литровую бутылку.

То тебе нужно в первую очередь знать о том, как заставить «это» взлететь. Здесь есть два важных параметра – пропеллеры, и двигатели. Пропеллеры для квадрокоптера могут быть самыми разными, и каждый несёт в себе совой смысл. Сегодня я объясню тебе основные понятия и принципы, чтобы ты знал, как подобрать пропеллеры для своей модели. Располагайся, заваривай пельмешки, будет долго, и немного больно. Но тебе понравится.

Сразу оговорюсь, что в любом проектировании бывает достаточно много НО. Всё, что я скажу далее, это стартовые знания. Не бойся включать голову и задавать вопросы. Нет такой информации, которую нельзя найти в гугле, или спросить на форуме. Главное- умение ей пользоваться. Поехали!

• «В идеальном мире» — чисто теоретическое понятие, не берущее в расчёт побочные факторы
• Параметр «длинна», это и есть длинна пропеллера. Если точнее, то диаметр окружности, описываемой лопастями
• Параметр «шаг» можно сравнить с шагом резьбы. Это то расстояние, которое может пройти винт за один оборот (по аналогии с шурупом в дереве) . Чем больше угол атаки лопасти, тем больше это расстояние.
  «Угол атаки», это Угол наклона лопасти, относительно горизонтальной плоскости
• «Тяга», это сила, которая создаётся винтом. Она компенсируется остальными силами реакции (сопротивление воздуха, гравитация). Из этого следует, что пока тяга больше сопротивления – коптер будет разгоняться в направлении, противоположном вектору тяги.

Основные параметры

Количество

Количество лопастей винта влияет на подъёмную силу, стабильность и отзывчивость коптера (в идеальном мире). Чем больше лопостей, тем эти параметры лучше. На самом деле, многолопастные пропеллеры (2+) ставятся только на мелкие дроны. Это происходит из за дороговизны изготовления и сложности балансировки. В большом размере отбалансировать 4 лопасти очень дорого.

Чем их больше, тем стабильнее БПЛА. Малое количество негативно сказывается на управляемости.

Виды лопастей

1. Normal (N) – Имеют заострённые на концах лезвия. Это уменьшает тягу, но и снижает расход энергии аккумулятора
2. Bullnose (BN) – Бычий нос (Закруглённые). При равном с нормальными диаметре, имеют большую тягу и площадь. За счёт тяжести ведут себя более стабильно, и увеличивают отзывчивость дрона по рысканью. Сильно повышают расход энергии акб.
3. Hybrid Bullnose (HBN) – промежуточный вариант. Имеют как и преимущества, так и недостатки предыдущих.

Направление вращения

Для электродвигателей есть два направления вращения. CW – вращение вала по часовой стрелке, CCW – вращение вала против часовой стрелки. Направления нужно или чередовать (так как каждый пропеллер создаёт реакционную силу, которая стремится развернуть то, к чему он прикреплён, в направлении вращения), или размещать соосно на одном луче (тогда реакционная сила одного компенсирует оную у второго. Это более сложная компоновка. Используется, к примеру, на вертолёте «чёрная акула»).

На направление вращения самого пропеллера указывает поднятая кромка. Она смотрит в сторону вращения.

Материал

Пластик – наиболее популярный, но не самый удачный вариант. Пластиковые пропеллеры обладают низкой ценой и очень широки ассортиментом. Обладают разной, но в основном высокой гибкостью и мягкостью. Якобы это увеличивает их устойчивость к механическим повреждениям. На самом деле, любой, даже небольшой дефект лопасти, скорее всего, будет фатален. Там уже не важно, расколется она, или просто помнётся. Всё равно ты её меняешь.

Углеродное волокно – Очень дорого, но очень круто. Великолепная жёсткость, лёгкость. Легко сбалансировать. Это значит, что брака будет меньше. Не теряет форму. Да и наличие чёрных лопастей всегда радует глаз. К ним рекомендуется докупить защиту лопастей для квадрокоптера, ибо их очень легко расколоть.

Композит – внутри пластик, снаружи покрытие из углеродного волокна. Дешевизна пластика, жёсткость и износостойкость (почти) как у карбоновых пропеллеров. Также не очень высокая цена.

Вес

От веса зависит отзывчивость дрона по оси рысканья. Однако, с этим надо быть аккуратным, ибо также увеличивается нагрузка на мотор квадрокоптера.

Эластичность

Эластичность пропеллера улучшает устойчивость оного к перегрузкам и механическому воздействию (не путать с мягкостью).

Качество

Как правило, чем дороже, тем качественнее. Тут может быть много параметров. Основной, это балансировка. Качественный пропеллер балансировать не придётся. Так же важным моментом является качество материала.

Пластик может быть упругим и эластичным, а может быть мягким и НЕ эластичным. С этим нужно быть внимательным. Не смотря на кажущуюся простоту, от качества лопастей напрямую зависят лётные качества коптера.

Спецификация

Есть два типа обозначений.

• L- длинна
• P- шаг
• B- количество лопастей (для двух лопастей может не указываться)

Например, 5045×3 – длинна 5 дюймов, шаг 4.5 дюйма, 3 лопасти.

Иногда приходится гадать. Тот же пропеллер может обозначаться 0545×3.

Например, 5×45х3 – длинна 5 дюймов, шаг 4.5 дюйма, 3 лопасти.

Иногда в конце присутствует буква R или C. Она определяет направление вращения пропеллера.

• R – по часовой стрелке
• C – против часовой стрелки

Иногда в конце присутствует обозначение профиля лопасти. (подробнее смотри выше «виды лопастей»)

• N – нормальная (заострённая)
• BN – закруглённая
• HBN – промежуточная

Методы крепления и крепежи

Пропсейвер – Хороший вариант для проведения эксперементов, когда надо часто снимать и надевать пропеллер. Выглядит как втулка, которая притягивается к валу двигателя двумя винтами. Сам пропеллер надевается сверху, и притягивается резинками к выступающим винтам. Далеко не полетит, но можно побаловаться.

Цанговое крепление – рабочий вариант. На вал насаживается цанга (та, что с прорезями), потом зажимная втулка, пропеллер и шайба. Крепление надёжное и идеальное для полётов.

Outranner – Это не крепление, это разновидность бесколлекторного мотора, в котором ротор (вращающаяся часть) находится снаружи. На их верхней поверхности обычно находится несколько резьбовых отверстий, в которые крепится переходник (коих несметное количество).

Балансировка

Когда ты сэкономишь на пропеллере, ты точно удивишься тому, что он не отбалансирован. Из-за этого он будет вибрировать, на камере коптера ты будешь наблюдать эффект «желе», резьбовые соединения будут ослабевать, а моторы будут изнашиваться очень быстро. Надо балансировать.

Для этого тебе понадобится:

• Пропеллер
• Скотч\суперклей (на свой страх и риск)
• Мелкозернистая наждачная бумага
• Специальный инструмент — балансировщик пропеллеров
• Уровень

1. Балансировщик устанавливаешь строго горизонтально.
2. Устанавливаешь пропеллер на ось, в горизонтальное положение. Отпускаешь. Одна из лопастей падает вниз.
3. Берёшь наждачку, и с внутренней стороны поднявшейся лопасти (с вогнутой) снимаешь немного материала. Не переусердствуй.
4. Возвращаешь лопасти в горизонтальное положение. Если одна из них падает – повторяешь предыдущий пункт. Если нет- идём дальше
5. Так как балансировщик тоже не лучшего качества- переворачиваешь ось и смотришь по новой. Нужно поймать момент, когда вне зависимости от направления оси, пропеллер будет сбалансирован.
6. Молодец.
7. Но не совсем. Теперь ступица. Устанавливаешь пропеллер вертикально. Если пропеллер наклоняется вправо- делаешь мазок лаком на левой стороне.
8. Добиваешься баланса
9. Меняешь направление горизонтальной оси пропеллера. Если всё по-прежнему в порядке- ты отбалансировал пропеллер. Надеюсь у тебя не октокоптер.
10. Молодец!

Калькулятор Ecalc

Крайне удобный калькулятор, которые находится на официальном сайте Ecalc . В нём ты сможешь задать те запчасти, которые будешь использовать для своего проекта, а он выдаст тебе (очень) примерную модель поведения коптера.

Давай рассмотрим его поближе, так как он тебе точно пригодится.

Основное

• Тут ты выставляешь основные параметры своей сборки
• Полный вес модели можно указывать «без ВМГ» (винтомоторная группа = пропеллеры и моторы). При выборе пропеллеров и моторов калькулятор сам учтёт их вес
• Количество винтов – соосные винты, это два винта расположенных друг над другом, а одноосные это один винт на одном луче коптера. Для простоты, в нижнем правом углу, калькулятор рисует тебе конфигурацию
• Размеры рамы- По диагонали, от одного конца луча, до другого
• На остальное пока можешь забить. Оно уже стоит по стандарту. Высота, температура и давление может пригодится для расчёта полётных характеристик для разных высот

Аккумулятор

• Из списка выбираешь нужный, или максимально похожий аккумулятор, и состояние заряда «номинал»
• В поле «P» пишешь количество параллельно соеденённых аккумуляторов (если нужно)

Регулятор

• Из списка выбираешь свой регулятор скорости
• В навесном оборудовании пишешь суммарное потребление и вес всей той фигни, что ты хочешь повесить на свой дрон. Камера, диоды, сервоприводы, мелкокалиберные орудия. Если ты уже указал их вес в основном весе модели, то поле вес оставляешь с нулём

Мотор

Выбираешь производителя мотора из списка, и проверяешь по параметрам. Если похоже, то всё нормально, если нет, то продолжаешь «Охлаждение»

Пропеллер

• Выбираешь тип пропеллера из списка. Угол кручения (угол атаки), диаметр винта и его шаг ты узнаешь из спецификации
• Передаточное число используешь, если твой пропеллер присоединён к мотору через редуктор

Если в списках нет нужной позиции, то можно воспользоваться строкой Custom, и ввести всё самостоятельно.

RashVinta

Программа для расчёта параметров пропеллера для летательного аппарата.

Она может работать с тремя наборами исходных данных.

1. Мощность двигателя + диаметр винта, который вам нужен
2. Мощность двигателя + частота вращения
3. Диаметр винта + шаг

В первом варианте

• Галочку на «расчёт по диаметру винта»
• Вводите нужный диаметр в см
• Вводите мощность двигателя в лошадиных силах, подсмотренную в параметрах двигателя (чтоб получить лошадей из кВт используй формулу кВт*1.36)
• Вводи максимальную скорость, которую позволит развить твой винт
• Введи среднюю скорость в поле «Скорость расчётная»
• Нажми кнопку расчёт

В результате ты увидешь необходимый шаг винта и частоту вращения.

Во втором варианте

• Убери все галочки
• Введи мощность двигателя
• Введи частоту вращения винта (двигателя, если нет редуктора)
• Введи максимальную и среднюю скорости

На выходе ты получаешь диаметр винта в сантиметрах и шаг винта.

Третий вариант

• Установи галочку в «указать параметры винта»
• Введи диаметр винта и шаг винта
• После нажатия на кнопку расчёт, программа рассчитает профили сечения винта (форма лопастей) на различных радиусах от центра. Результат ты получишь в окне просмотра, и в виде таблицы Date.html в каталоге программы.
• Кнопками со стрелками просматриваешь сечения на различных радиусах, а ползунком меняешь масштаб.

Как ты можешь заметить, подбор и корректировка пропеллеров, это важное и не самое простое занятие. Однако, настоятельно рекомендую уделить этому время. Даже в такой, на первый взгляд, неуклюжей корове, как квадрокоптер, есть место аэродинамике. К тому же это может сэкономить тебе очень много денег на моторах.

Конечно, всё вышесказанное достаточно ситуативно. К примеру, если ты собираешь маленький дрон, или просто хочешь попробовать, то пропеллеры можно использовать и самые дешёвые, и не отбалансированные.

Это вряд ли помешает твоему дрону взлететь, да и ты сразу поймёшь, что не так, и на что нужно впредь обращать больше внимания.

Так же крайне не рекомендую начинать с соосной компоновки, если ты не знаком с миром беспилотной авиации. Там есть куча нюансов, которые базируются на более глубоком понимании темы. Идеальным вариантом для начала будет четырёх лучевая, квадратная компоновка.

Ну и нужно понимать, что если ты не крутой инженер, с богатым набором закрытых САПР программ, то всё, что ты можешь рассчитать – мало тебе поможет.

Все эти вычислительные решения дают крайне ориентировочный результат. Так что я рекомендую тебе побольше экспериментировать, хотя помощью софта пренебрегать тоже не стоит. Пробуй, учи матчасть, когда-нибудь получится очень круто!